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一个量减去它自身的一半或一半多,剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。
一直这样减下去,最终就得到一个小于任何事先给定量的量。
当使用“任意小”、“任意大”这类词进行表述时,就代表着不可抵达的潜无穷的观点。
“不过,柯西对于极限的定义依旧有不太完美的地方,尤其是趋近这个具有动态含义的词,暗示了时间和空间的概念。”
“在他之后,魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义,也就是教科书上的ε-δ语言,不再使用趋近这种暗示了空间和时间的动态定义。”
“利用这个对极限的定义,可以很容易地证明芝诺二分悖论中那个无穷级数的和是1。”
“对了,还有很有名的魏尔斯特拉斯函数,处处连续但处处不可导。”
“这是第一个分形函数,具备自相似性,无限细分放大后依旧还是那布满了锯齿的模样。”
“总之,经过不少聪明人的努力,微积分总算有了一个严格的基础,摆脱了逻辑上的含糊和矛盾,走出了第二次数学危机。”
大略地提了提微积分的展史,李恒将话题转到了重点上。
“微积分的完善建立在极限思想的基础上,明确了微积分在计算过程中使用的都是不为o的变量。”
“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小,回归到了人类能处理的有限范围内。”
“实数域因此也是最大的阿基米德有序域,给出任何数,总能够挑选出一个整数大于该数,也就是不包括无穷大量和无穷小量。”
“实数的定义域-∞,+∞,这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念,人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”
“但,潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”
“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷,但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”
“毕竟微积分的基础就是连续性,而无理数就是数轴连续性的来源,没有实无穷,只剩下有理数的微积分也不可能存在。”
“微积分基础的严格化解决了很多问题,但也带来了很多新的问题。”
“最关键的就是,需要一个无理数的基本定义,这些无理数构成的数轴具备连续性。”
万物皆数,在直观的几何上从离散到连续的转变,就是从有理数到实数的转变。
魏尔斯特拉斯,戴德金,还有康托尔,这三人各自完成了对实数的基本定义。
其中容易理解的是戴德金的定义。
李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴,只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。
“点动成线,数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙,没有丝毫的漏洞。”
“这是连续性最直观的一点,但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”
“任意两个有理数之间都存在第三个有理数,但它们并不连续,每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”
“连续性显然不是根源于任何种类的致密性,用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”
“思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”
“也就是在数轴上,每一个点的左边是一个更小的点,右边是一个更大的点。”
李恒抬起手掌,一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上,激荡起一阵金属碰撞般的火花,让整个世界都剧烈地颤动了起来。
天上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去,争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。
他们感觉到,这个隐藏在有理数的缝隙中,无限可分的无穷小世界,真的被找到了那个不可分割的最小基本元素。
“从数轴的可分性去理解连续性,这就是我们两个一路上在做的事情。”
“切割整数,切割有理数,切到不可再分的那一点,找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”
“在这个数左边的所有数都小于这个数,在这个数右边的所有数都大于这个数。”
这就是戴德金分割。
如果直线上的所有点都落入两个集合,第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。