第733章 追不上的乌龟 (第1/4页)

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连续统的基数不是阿列夫一。

阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道

“可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”

在那张图灵度层级的图表上，所有的图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。

这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。

自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限?1。

“不，等等，我好像明白了！”

阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散的白光，突然反应了过来。

“你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”

“你的意思是说，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”

李恒点点头道

“不错。”

“其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的说，是无穷小量和o之间的矛盾。”

“莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷小，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”

“从本体论上看，莱布尼茨将无穷小量看作是万物由此组成的不可再分的最小的原子，它是绝对值小于任何实数的实无穷小。”

“柯西和魏尔斯特拉斯的极限概念，戴德金分割用有理数对连续的直线进行切割，康托尔用有理数序列表示十进制无限小数的方法，这三者彼此都是等价的。”

“它们都定义了一个稠密、连续、完备的实数模型。”

“但是，以上这些理论都只属于标准分析的范围。”

“有标准分析，自然就有非标准分析。”

就像既有局限于平面上的欧氏几何，也有扩展到高维空间的非欧几何一样。

在欧氏几何中成立的结论，在非欧几何中却不一定成立。

两者并非是简单的谁对谁错的问题。

作为一切推理证明前提的公理都改变了，后续得到的定理和结论自然就会完全不同。

欧氏几何中不证自明的平行公理不再是整个理论的基础，它只是非欧几何中一种特殊的情况。

这种集合论公理的增加与删改并非随意而为的。

如无必要，勿增实体。

最好的集合论公理系统就是能以最少的公理得到最多的结论。

如果能从定义自然数的皮亚诺公理出解决一切问题，自然就用不着多此一举地去改动最基础的公理。

但因为哥德尔不完备定理，一切数学体系都存在自身内部不能证明的命题。

在这种情况下，为了能研究这些不可证的问题，只能增加更多的公理，将系统扩张为更大的体系。

非标准分析继承了莱布尼茨的想法，将实无限的思想从有限大的无理数扩展到那些真正无限的数。

任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。

『紧挨着1的下一个数是什么？』

这个问题放在十进制自然数的范围内，答案是2。

放在二进制自然数的范围内，答案是1o。

但扩展到有理数的范围内，思想有限的人类就无法找到紧挨着1的下一个数。

显而易见的，同一个问题的答案会因为研究范围的不同而生改变。

在此之前，李恒和阿基里斯讨论的一切都在标准分析规定的实数范围内。

实数域是最大的阿基米德有序域，具备阿基米德性质。