第726章 希尔伯特第一问 (第1/4页)

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“离散和连续，可数无穷和不可数无穷，康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”

“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中，被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”

“在数学领域中，康托尔的集合论与穷数理论说是开天辟地也不为过。”

“其中最关键的一点就是，康托尔现了无穷也是有不同的等级的。”

“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大，那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个？”

“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”

李恒靠在那棵光秃秃的枣树下，将手中的一片树叶折叠成立体的形状。

“更多的维度需要更多的坐标进行确定，二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”

“这一点在微积分的计算中表现得很明显，一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”

“将一块面积有限的圆饼分割展开，能够形成一条无限长度的链条。”

“在高维空间中是有限大小的物体，在低维空间中却是无限大的，这似乎就是在说明，高维空间是更大的无穷大。”

“可惜，就像之前说过的那样，康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”

“在无穷大的世界里，人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”

“为了寻找更大的基数，康托尔以集合论为基础重新出，从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”

一个集合{1，2，3}包含三个元素。

这个集合的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7个。

最后再加上空集?，总共有2^3个子集。

类似的，可以证明对包含n个元素的集合，其子集的数量是2^n个。

这一点对于空集也是成立的。

空集中的元素为o，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集数量为1，也就是非空集合{?}。

这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。

?，{?}，{?，{?}}…这组序列就代表了自然数o，1，2…。

利用空集作为一切的基础，生成整个自然数序列。

“事实上，2这个数字在这里有更丰富的意义。”

“为什么是2，而不是3或者1o？”

“本质上2这个数字代表了一种二元选择——也就是判定是或否。”

“从一个集合包含的元素来构造其全体子集的过程，实际上就是一连串的判定过程。”

“集合中的每一个元素都只有两种可能，属于这个集合，或者不属于这个集合，没有其他情况。”

“3个元素，每一个元素都有是、否两种可能，总共就是8种可能性。”

“通过判定集合中的每一个元素是否属于这个集合，可以构造出一个新的集合。”

“这个新集合包含的元素是原集合的全体子集，它被称为幂集。”

“新的幂集显然大于原来的集合，康托尔证明了即使集合是无穷的，它的幂集的基数也总是大于它。”

“这就是幂集公理。”

“利用幂集公理，就能构造出一个新的更大的无穷集合，也就是2^?o=?1”

“?o，?1，?2，…直到阿列夫无限。”

“这里的无限用的是穷序数，也就是从最初的?o开始，经过无限次幂集构造后得到的集合。”

“这一系列的数字就是所谓的阿列夫数。”

“在这之后，还可以利用构造幂集的方式继续创造更大的集合，比如类似于穷序数中ε不动点的阿列夫不动点，满足a=?a。”

“每一个穷序数下标代表的是幂集构造的次数，是在无穷大领域的跳跃。”

手中绿色的树叶上流动的白色文字停留在了阿列夫不动点那里，李恒将这些文字全部抹去，接着道

“这些属于扩展阅读的部分，回到连续统的问题。”

“自然数集的幂集的基数为?1，康托尔接下来又证明了这个集合无法与自然数集合之间形成一一对应。”